VÀI GỢI Ý KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG

   Phùng Hồng Kổn

    Trong các đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng hiện nay – Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình là một trong những chủ đề trọng tâm, năm nào cũng có trong đề thi chính thức. Trong chương trình môn Toán THPT từ lớp 10 đến lớp 12 có rất nhiều loại phương trình : pt bậc hai, ba, bốn; pt chứa ẩn ở mẫu; pt chứa căn; pt chứa trị tuyệt đối; pt lượng giác; pt mũ; pt lôgarit. Rồi hệ đối xứng loại I; hệ đối xứng loại II; hệ đẳng cấp; hệ ba pt bậc nhất; hệ hỗn hợp bậc nhất, bậc hai….

Đối diện với một phương trình , hệ pt – loại  không đơn giản như trong các đề thi tuyển sinh, chúng ta nghĩ gì?

–         Điều kiện để các biểu thức có nghĩa là việc đầu tiên bạn cần nghĩ tới. Nếu bạn định “Bình phương hai vế” thì phải đặt thêm điều kiện để hai vế không âm.

–         Hãy xem có hằng đẳng thức nào không?

–         Có thể Phân tích thành nhân tử không?

• Trước khi phân tích hãy thử một số nghiệm đơn giản. Chẳng hạn f(x) có nghiệm là 1 thì phân tích được thành f(x) =(x-1). g(x) (có thể sử dụng lược đồ Hoocne).
• Với Phương trình lượng giác thì Phân tích thành nhân tử là một phương pháp rất hiệu quả, hãy chuyển tất cả sang một vế và phân tích thành tích các nhân tử mà mỗi nhân tử là một dạng quen thuộc (pt bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác; pt bậc nhất đối với sinx, cosx; pt đẳng cấp bậc hai, bậc ba với sinx cosx hay tanx, cotx). Chú ý nhẩm thử những nghiệm đặc biệt, chẳng hạn thử đưa về các dạng sau: (sinx-căn ba/2).g(x)=0;   (cosx+1/2).g(x)=0; (tanx-căn ba).g(x)=0… .
• Khi giải hệ pt, “Thế” là phương pháp hay được sử dụng, tuy nhiên đề thi thường không ra đơn giản để có thể ngay từ đầu rút x từ pt này, thay vào pt  kia – mà để rút được x (hoặc y) ta phải Phân tích một trong hai pt của hệ thành nhân tử cái đã.  

–         Có thể Đặt ẩn phụ không? Rất nhiều kiểu đặt ẩn phụ

• Đặt một ẩn phụ t đưa về phương trình ẩn t đơn giản hơn.
• Đặt một ẩn phụ t đưa về phương trình ẩn t nhưng vẫn còn x, ta coi x là tham số, tính t theo x (thường pt bậc hai có đen ta đưa được về bình phương nhị thức hoặc nhẩm được nghiệm)
• Đặt một ẩn phụ t đưa về hệ phương trình hai ẩn x; t
• Đặt hai ẩn phụ u, v đưa về hệ pt hai ẩn u, v.
• Khi đặt ẩn phụ cần lưu tâm đến điều kiện của ẩn phụ. Với bài toán tìm tham số để pt có nghiệm thì phải tìm điều kiện đúng của ẩn phụ.

Chẳng hạn:

t= căn bậc hai của (-x²+3)  đk :  0<t< căn bậc hai của 3 ; t=x+1/x, đk : trị tuyệt đối của t >2

(Đôi  khi phải khảo sát hàm số để tìm điều kiện đúng của ẩn phụ)

–         Đặt ẩn phụ là một giải pháp thường được  nghĩ tới. Tuy nhiên , nghĩ tới rồi mà không biết đặt cái gì làm ẩn phụ. Khi đó phải Biến đổi để xuất hiện những biểu thức đồng dạng (chẳng hạn: x²-3x+2 và (x²-3x+2)² là hai biểu thức đồng dạng) rồi mới có thể đặt ẩn phụ. Một số thủ thuật dùng khi Biến đổi: Thêm, bớt, chia hai vế cho một đại lượng (phải khác không đấy nhé), nhân tử và mẫu (hoặc hai vế) với biểu thức liên hợp…

–         Nếu các “miếng võ” kể trên vẫn không khuất phục được “đối thủ”, bạn hãy mở nốt hai “chiêu”: Sử dụng Tính đơn điệu của hàm số : Đầu tiên nhẩm nghiệm (thường chỉ có một nghiệm), rồi chứng minh không còn nghiệm nào khác nữa. Và Đánh giá: Chứng minh vế trái nhỏ hơn hoặc bằng vế phải (hoặc vế trái lớn hơn hoăc bằng a, vế phải nhỏ hơn hoặc bằng a) rồi xét dấu bằng xảy ra . Thử áp dụng với hai pt này nhé:

Căn bậc hai của(x-1)=-x³-4x+5 ;

2căn bậc hai của (7x³-11x²+25x-12)=x²+6x-1

.  Một tín hiệu để bạn sớm nghĩ đến hai “chiêu” đặc biệt trên là Sự bất bình thường ở mỗi vế của phương trình (chớ dại mà Bình phương hai vế của những pt trên nha).

Trên đây là vài gợi ý nhỏ, để biến chúng thành “võ” của mình các bạn cần LUYỆN.

Chúc các bạn sĩ tử thành công

PHK