LỜI GIẢI ĐỘC ĐÁO CHO MỘT BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC

TRẦN VĂN CƯƠNG

Bài toán. Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác.Chứng minh rằng:
(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+\frac{3(a-b)(b-c)(c-a)}{abc}\ge 9
Lời giải.Biến đổi BĐT cần chứng minh về dạng tương đương với :
2(ab^2+bc^2+ca^2)-(a^2b+b^2c+c^2a) \ge 3abc
\Leftrightarrow a(b-c)(b-a)+b(c-a)(c-b)+c(a-c)(a-b)\ge 0
Đặt m=a-b,n=b-c,p=c-a thì m+n+p=0.Khi đó BĐT cần chứng minh trở thành :
a(-m)n+b(-n)p+c(-p)m\ge 0
\Leftrightarrow amn+bnp+cpm\le 0
\Leftrightarrow amn+bn(-m-n)+cm(-m-n)\le 0
\Leftrightarrow cm^2+n(b+c-a)m+bn^2\ge 0
\bulletNếu n=0 thì a=b=c và lúc đó BĐT cần chứng minh trở thành đẳng thức
\bulletNếu n\ne 0 thì chia cả 2 vế của BĐT trên cho n^2 ta được :
c(\frac{m}{n})^2+(b+c-a)\frac{m}{n}+b\ge 0\quad (*)
Ta có : \Delta=(b+c-a)^2-4bc=(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)
Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên :
a<b+c=>a.a<a.(b+c)=ab+bc

b<c+a=>b.b<b.(c+a)=bc+ba

c<a+b=>c.c<c.(a+b)=ca+cb

Cộng từng vế ta được Đen ta âm với mọi a,b,c =>đpcm

Bình Luận.Bài toán trên đây tôi bắt gặp khi còn là một học sinh lớp 10 và cách giải độc đáo này hoàn toàn do tôi tự mày mò ,phát kiến ra.Liệu bài toán còn có cách giải nào hay hơn không?Mong nhận được sự góp ý và chia sẻ của bạn đọc!!!Tác giả xin chân thành cảm ơn!

theo Diamond

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: