QUĨ TÍCH “NỞ HOA” nhờ phần mềm G.Sketchpad

Phùng Hồng Kổn

Trong chương trình Hình học phẳng ở trường  Trung học cơ sở và Trung học phổ thông có loại toán Tìm quĩ tích của một điểm thỏa mãn một tính chất nào đó. Đây là loại toán khó do yếu tố chuyển động của điểm-  khiến cho hình vẽ thay đổi. Để giải toán  quĩ tích  người làm toán thường phải vẽ một vài vị trí khác nhau, dự doán xem quĩ đạo chuyển động của điểm cần tìm quĩ tích là đường nào . Phần mềm G.sketchpad sẽ giúp bạn dự đoán quĩ tích, trong trường hợp bạn đã dự đoán được quĩ tích thì phần mềm này sẽ giúp bạn Minh họa quĩ tích. Hơn thế nữa, với những tính năng đồ họa mạnh, Gsketchpad sẽ cho bạn thấy quá trình hình thành một quĩ tích “nở hoa” như  thế nào -và do đó, bạn không chỉ được học toán mà còn được giáo dục thẩm mỹ. Sau đây là một số ví dụ.

Bài 1.   Cho  một điểm I cố định nằm trong đường tròn (O). Từ điểm A chuyển động trên (O) vẽ hình vuông ABCD với I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Tìm quĩ tích các điểm B, C, D.

Gợi ý: Ta có các phép quay : Q(I ;900): A® B ;  Q(I ;1800): A® C ; Q(I ;-900): A® D. A chạy trên (O) nên B, C, D lần lượt chạy trên các đường tròn  ảnh của (O) qua các phép quay trên. (hình bên cạnh minh họa cho qui trình hình thành quĩ tích).

Bài 2. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), B, C cố định, A chạy trên  cung lớn BC. Dựng ra phía ngoài (O) các hình vuông ABDE và ACFG. Gọi I là trung điểm của EG. Tìm quĩ tích D, E, G, F, I.

Gợi ý:Phép quay: Q(B;900): A®D; Q(C;-900): A®F;

–          Phép đồng dạng f là tích của phép quay: Q(B;450) và phép vị tự: V(B;) biến A®E

–          Phép đồng dạng f’ là tích của phép quay: Q(C;-450) và phép vị tự: V(C;) biến A®G

–          Phép  quay Q(A;900): E®B ; G®G’ Þ EG®BG’ Þ trung điểm I của EG ®trung điểm J của BG’ Þ AI=AJ = và AI ^AJ Þ  xác địnhÞcó phép tịnh tiến

Þ D, E, G, F, I chạy trên các cung tròn là ảnh của cung BC qua các phép biến hình trên.

Bài 3. Từ hai điểm AB cố định dựng  hình thoi ABCD tâm O. Gọi E, F lần lượt là trọng tâm các tam giác ADB và BDC. Tìm quĩ tích C, F, O, E.

Gợi ý: – B cố định, BC=BA không đổi nên C chạy trên đường tròn tâm B bán kính BA.

–          Các phép vị tự:      V(A ;1/2) :C®O;     V(A;2/3): C®F ; V(A ;1/3) :C®E. Suy ra  O, E, F lần lượt chạy trên các đường tròn là ảnh của (B; BA) qua các phép vị tự trên.

Bài 4: Trên đường tròn (O) vẽ dây AB cố định, lấy M di động. Gọi (O1), (O2) là hai đường tròn qua M, tiếp xúc với AB lần lượt tại A và B. Tìm quĩ tích giao điểm thứ hai N của (O1)và (O2)

Gợi ý: Chứng minh MN đi qua trung điểm I của AB. Gọi giao điểm của MN với (O) là P, chứng minh ANBP là hình bình hành => có phép đối xứng tâm I: Đ(I): P® N => N chạy trên (O3) : ảnh của (O) qua Đ(I)

Bài 5: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi K là trung điểm AC, G là trọng tâm tam giác ABC, E là điểm đối xứng với G qua K; I, J lần lượt là trung điểm của AB và BC. Tìm quĩ tích E, I, J khi B di động trên (O); A, C cố định.

Gợi ý: Các phép vị tự:   V(A ;1/2) :B®I;             V(C;1/2): B®J ; V(K ;-1/3) : B®E. Suy ra I,J,E lần lượt chạy trên các đường tròn là ảnh của (O) qua các phép vị tự trên.

Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại C, nội tiếp đường tròn (O). Vẽ ra phía ngoài tam giác các hình vuông ACDE và BCFG. Gọi I là trung điểm của EG. Tìm quĩ tích các điểm D,E, F,G  khi C chạy trên (O)

Gợi ý:

–          Q(A;900) : C→E, C Î(O) suy ra EÎ (O1) là ảnh của (O) qua Q(A;900) .

–          Q(B;-900) : C→G, C Î (O) suy ra GÎ (O2 ) là ảnh của (O) qua Q(C;-900) .

–          Phép đồng dạng f là tích của phép quay: Q(A;450) và phép vị tự: V(A;) biến C®D.  C Î(O) suy ra DÎ (O3) là ảnh của (O) qua phép đồng dạng trên. (O3) có tâm là điểm chính giữa cung AB. Chứng minh tương tự ta được F thuộc (O3).

VUI VUI: Mời bạn thử ra đề bài để quĩ tích M  là “bông hoa” trong  hình dưới đây:

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: