QUĨ TÍCH TRONG KHÔNG GIAN VỚI PHẦN MỀM CABRI 3D Phần I – Các bài toán lớp 11

Phùng Hồng Kổn

Tìm quĩ tích trong hình học không gian là một loại toán hấp dẫn đối với học sinh giỏi , đó là mảnh đất màu mỡ cho trí tưởng tượng không gian : để dự đoán xem điểm chuyển động trên quĩ đạo nào; và ở đó tư duy lôgic cũng được huy động tối đa : để chứng minh điều dự đoán , đặc biệt là để lập và chứng minh mệnh đề đảo. Đương nhiên, loại toán này cũng là nỗi kinh hãi đối với học sinh yếu, thực tế cho thấy, những học sinh học yếu môn toán thường sợ hình học không gian, đặc biệt là với các bài toán quĩ tích trong không gian thì những học sinh này không còn cách nào khác là “Kính nhi viễn chi”.

Rất may mắn (cho các thầy cô dạy toán và cho học sinh ) một phần mềm dành riêng cho môn Hình học không gian rất mạnh đang được phổ biến ở Việt nam đó là phần mềm CABRI 3D (của công ty Cabrilog – Cộng hoà Pháp, do công ty Schoolnet phát hành).

Bài viết này xin giới thiệu với độc giả một số bài toán quĩ tích không gian được trích từ hai cuốn sách “Dạy & học hình học không gian lớp 11 (và lớp 12) với sự trợ giúp của máy tính” – Phùng Hồng Kổn- Nhà xuất bản giáo dục . Phần mềm Cabri 3D sẽ giúp bạn Dự doán quĩ tích hoặc Minh hoạ cho quĩ tích mà bạn tìm được. Các hình vẽ đã được thiết kế chuyển động và tạo vết, bạn chỉ việc mở hình vẽ, nhắp window – Animation – Start Animation và xem các yếu tố chuyển động tạo nên quĩ tích của điểm cần tìm (đương nhiên, máy tính của bạn phải được cài đặt Cabri 3D).
Phần I. Các bài toán lớp11

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD, AB không song song với CD. Điểm E nằm trên cạnh SA. Mặt phẳng (BCE) cắt SD tại F. BE cắt CF tại G; BF cắt CE tại K. Tìm quĩ tích các điểm G, K khi E di động trên cạnh SA.

Bài giải:

a) Tập hợp K:

– Phần thuận: – Trong mp (ABCD) gọi H=AB giao CD; thì H cố định.

– Ta có (SAB) giao (SCD) = SH cố định; (SAC)giao (SBD) = SO cố định.

– G = BEgiao CF =>

+ G thuộc BE mà BE nằm trong (SAB) =>G thuộc (SAB)

+ G thuộc CF mà CF nằm trong (SCD) => G thuộc (SCD)

Từ đó suy ra khi E chạy trên SA thì G chạy trên giao tuyến của (SAB) và (SCD)

– Giới hạn: Khi E trùng A thì G trùng H, khi E trùng S thì G trùng S => G chạy trên đoạn thẳng SH.

– Phần đảo: Lấy điểm G bất kì trên đoạn thẳng SH. Trong mp (SHB) nối GB cắt SA tại E. Trong mp (SHC) nối GC cắt SD tại F tức là mp (BCE) cắt SD tại F và G là giao của BE và CF.

-Kết luận : Quĩ tích G là đoạn thẳng SH (với H là giao điểm của AB và CD)

b) Chứng minh tương tự ta được qĩ tích K là đoạn thẳng SO.

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành ABCD. Một mặt phẳng (P) quay quanh AD cắt các cạnh SB, SC tại E, F. AF cắt DE tại G; AE cắt DF tại H . Tìm quĩ tích các điểm G; H

Gợi ý

Gọi O = AC giao BD; xy = (SAB)giao (SDC)

– Quĩ tích G là đoạn thẳng SO.

– Quĩ tích H là tia Sy nằm trên đường thẳng xy .

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD, AB không song song với CD. Qua điểm E trên cạnh SB dựng mặt phẳng (P)//(ABCD) cắt SC, SD, SA lần lượt tại F, G, H. EG cắt FH tại K, EH cắt FG tại I. Tìm quĩ tích các điểm K và I khi E chạy trên cạnh SB.

Gợi ý

Gọi O = ACgiao BD; J = AB giao CD

– Quĩ tích K là đoạn thẳng SO

– Quĩ tích I là đoạn thẳng SJ

Bài 4. Cho đường tròn (O) đường kính AB nằm trong mặt phẳng (P). Gọi C là một điểm thuộc (O). Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P), trên lấy điểm S, nối SB, SC. Mặt phẳng (Q) đi qua A và vuông góc với SD, cắt SC tại M. Tìm quĩ tích M khi:

a) Điểm C chạy trên đường tròn (O).

b) Điểm S chạy trên đường thẳng .

Gợi ý

a) SD vuông góc với (Q), AM nằm trong (Q) => SD vuông góc với AM; BC vuông góc với  AM (vì BC vuông góc với  (SAC) => AM  vuông góc với (SCD) => AM vuông góc với  MD.  AD cố định trong mp (Q) => Quĩ tích M là đường tròn đường kính AD nằm trong mp (Q) .

 

b) Quĩ tích M là đường tròn đường kính AC nằm trong mp (C,) .
Bài 5. Cho hình vuông ABCD tâm O, tia Ax vuông góc với (ABCD). Gọi S là điểm di động trên Ax và E di động trên AB. I là trung điểm SD, tìm quĩ tích I’ là hình chiếu của I trên CE.

Gợi ý

Gọi J là trung điểm AD, chứng minh JI’ I’C => I’ chạy trên đường tròn đường kính JC nằm trong (ABCD).

Giới hạn: khi E trùng với B thì I’ trùng với N là trung điểm CD. Khi E trùng với A thì I’ trùng với F là trung điểm AO (O là trung điểm AC) => I’ thuộc cung FN.

Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều và vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm AB, M là điểm di động trên cạnh BC. Tìm quĩ tích S’ là hình chiếu của S lên DM

Gợi ý

Chứng minh góc HS’D = 900, HD cố định => S’ chạy trên đường tròn đường kính HD.

Giới hạn:

– Khi M trùng B thì S’trùng  J = BD giao (HD).

– Khi M trùng C thì S’ trùng K = CD giao (HD).

Quĩ tích S’ là cung JK trên đường tròn đường kính HD nằm trong mặt phẳng (ABCD).

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: